Sistemi linearnih jednačina sa dve nepoznate
Dve jednačine sa dve nepoznate kod kojih su rešenja tih nepoznatih ista čine sistem jednačina. Pod sistemom od dve linearne jednačine sa dve nepoznate, x i y, podrazumeva se:
a1 · x + b1 · y = c1
a2 · x + b2 · y = c2
To je takozvani prost sistem, gde su a1, b1, c1, a2, b2, c2 dati realni brojevi (ponekad i parametri). Rešenje sistema je uređeni par brojeva (x0, y0), za koji važi da je:
a1 · x0 + b1 · y0 = c1
a2 · x0 + b2 · y0 = c2
Ako u zadatku nije dat sistem u opštem obliku, potrebno ga je ekvivalentnim transformacijama svesti na taj oblik. U tom smislu, treba obratiti pažnju da se iste nepoznate uvek pišu jedne ispod drugih radi preglednosti i lakšeg snalaženja u sistemu. Tipovi ekvivalentnih transformacija za jednakost A = B su:
1) A + c = B + c,
2) A − c = B − c,
3) A · c = B · c,
4) A : c = B : c, c ≠ 0.
Sistemi jednačina mogu se rešiti pomoću više metoda: zamena, suprotni koeficijenti, grafički, determinante itd. Sve metode dovode do istog rešenja, a koja će se od njih koristiti zavisi od postavke zadatka (treba izabrati onu metodu koja se u datom zadatku učini najpogodnijom za rešavanje).
Sistemi jednačina kod kojih postoji samo jedno rešenje (tj. jedan uređeni par rešenja) nazivaju se određeni sistemi. Osim njih postoje i neodređeni sistemi (sistemi koji imaju beskonačno mnogo rešenja) i kontradiktorni (nemogući) sistemi (sistemi koji nemaju nijedno rešenje).
Metoda zamene
Postupak: izabrati jednu od dve date jednačine i iz nje izraziti jednu od nepoznatih preko druge nepoznate, a zatim tu nepoznatu u drugoj jednačini zameniti dobijenim izrazom. Na taj način dobija se jedna jednačina sa jednom nepoznatom.
Savet: prilikom odabira nepoznate treba izabrati onu koja ispred sebe ima koeficijent (broj) koji olakšava račun.
Primeri:
1. Zadatak jedan:
x + 3y = 25
2x − 5y = −27
U jednoj od jednačina treba izraziti jednu nepoznatu preko svega ostalog. Druga jednačina se samo prepiše. U ovom slučaju, najlakše je izraziti x iz prve jednačine.
x = 25 − 3y
2x − 5y = −27
Sada se prva jednačina prepisuje, a u drugoj umesto nepoznate x stavlja ono što je jednako x, a to je u ovom slučaju 25 − 3y. Na taj način druga jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom, pa je lako izračunati tu nepoznatu.
x = 25 − 3y
2 · (25 − 3y) − 5y = −27
Izraz koji menja x je stavljen u zagradu jer se čitav taj izraz množi brojem 2, koji stoji uz x. Ostatak zadatka je običan račun.
x = 25 − 3y
50 − 6y − 5y = −27
x = 25 − 3y
50 − 11y = −27
x = 25 − 3y
−11y = −27 − 50
x = 25 − 3y
−11y = −77
x = 25 − 3y
y = −77/(−11)
x = 25 − 3y
y = 7
Sada treba u prvoj jednačini umesto y napisati dobijeni broj i izračunati drugu nepoznatu, tj. x.
x = 25 − 3 · 7
y = 7
x = 25 − 21
y = 7
x = 4
y = 7
Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (4, 7).
Provera:
Zamenom ta dva rešenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.
4 + 3 · 7 = 25
2 · 4 − 5 · 7 = −27
4 + 21 = 25
8 − 35 = −27
25 = 25
−27 = −27
2. Zadatak dva:
2x + 4y = 8
5x + y = −7
U jednoj od jednačina treba izraziti jednu nepoznatu preko svega ostalog. Druga jednačina se samo prepiše. U ovom slučaju, najlakše je izraziti y iz druge jednačine.
2x + 4y = 8
y = −7 − 5x
Sada se druga jednačina prepisuje, a u prvoj umesto nepoznate y stavlja ono što je jednako y, a to je u ovom slučaju −7 − 5y. Na taj način prva jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom, pa je lako izračunati tu nepoznatu.
2x + 4 · (−7 − 5x) = 8
y = −7 − 5x
Izraz koji menja y je stavljen u zagradu jer se čitav taj izraz množi brojem 4, koji stoji uz y. Ostatak zadatka je običan račun.
2x − 28 − 20x = 8
y = −7 − 5x
−18x −28 = 8
y = −7 − 5x
−18x = 8 + 28
y = −7 − 5x
−18x = 36
y = −7 − 5x
x = 36/(−18)
y = −7 − 5x
x = −2
y = −7 − 5x
Sada treba u drugoj jednačini umesto x napisati dobijeni broj i izračunati drugu nepoznatu, tj. y.
x = −2
y = −7 − 5 · (−2)
x = −2
y = −7 + 10
x = −2
y = 3
Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (−2, 3).
Provera:
Zamenom ta dva rešenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.
2 · (−2) + 4 · 3 = 8
5 · (−2) + 3 = −7
−4 + 12 = 8
−10 + 3 = −7
8 = 8
−7 = −7
Matematika za 8. razred video lekcije
Metoda suprotnih koeficijenata
Postupak: pomnožiti jednačine odgovarajućim brojem kako bi koeficijenti ispred jedne od nepoznatih u obe jednačine bili isti brojevi, ali sa suprotnim znacima. Zatim sabrati date jednačine.
Savet: izabrati nepoznatu ispred koje su koeficijenti (brojevi) „laki” za račun.
Primeri:
1. Zadatak jedan:
2x + 3y = 34
8x − 6y = −8
Potrebno je da ispred jedne nepoznate budu isti brojevi, ali sa suprotnim znacima. U ovom slučaju, najbolje je prvu jednačinu pomnožiti sa 2 (tako se uz y dobija 6 i −6).
2x + 3y = 34 /·2
8x − 6y = −8
4x + 6y = 68
8x − 6y = −8
Sada treba sabrati te dve jednačine i izračunati nepoznatu x.
12x + 0y = 60
12x = 60
x = 60/12
x = 5
Kada se nađe jedno rešenje, treba se vratiti u jednu jednačinu (bilo koju) da bi se našlo drugo rešenje.
2x + 3y = 34
2 · 5 + 3y = 34
3y = 34 − 10
3y = 24
y = 24/3
y = 8
Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (5, 8).
Provera:
Zamenom ta dva rešenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.
2 · 5 + 3 · 8 = 34
8 · 5 − 6 · 8 = −8
10 + 24 = 34
40 − 48 = −8
34 = 34
−8 = −8
2. Zadatak dva:
5x + y = −1
10x − 2y = 2
Prva jednačina množi se sa −2.
5x − y = −1 /·(−2)
10x − 2y = −2
−10x + 2y = 2
10x − 2y = −2
Sada se jednačine sabiraju.
0x + 0y = 0
0 = 0
To znači da je sistem jednačina neodređen, odnosno da ima beskonačno mnogo rešenja. Da bi se ta rešenja opisala, iz jedne od jednačina treba izraziti x ili y, zavisno od toga šta je lakše.
5x + y = −1
y = −1 − 5x
Sada su rešenja: (x, y) = (x, −1 − 5x); x ∈ R.
3. Zadatak tri:
9x + 15y = 6
−9x − 15y = 12
Jednačine se odmah sabiraju.
0x + 0y = 18
0 = 18
To znači da je sistem jednačina nemoguć, odnosno da nema rešenja.
4. Zadatak četiri:
ax − 10y = 15a
2ax + 5y = 5a
U ovom zadatku postoji parametar a. Postupak je isti.
ax − 10y = 15a
2ax + 5y = 5a /·(−2)
ax − 10y = 15a
4ax + 10y = 10a
Sada se jednačine sabiraju i izračunava nepoznata x.
5ax + 0y = 25a
5ax = 25a
x = 25a/5a
x = 5
Napomena: a može da se skrati samo ako je a ≠ 0 (to je uslov).
Sada se x zameni u jednoj od jednačina (bilo kojoj) da bi se našlo y.
ax − 10y = 15a
5a − 10y = 15a
−10y = 15a − 5a
−10y = 10a
y = 10a/(−10)
y = −a
Rešenja su: (x, y) = (5, −a), uz uslov a ≠ 0.
Šta se dešava ako je a = 0?
Kada se ta vrednost zameni u početni sistem jednačina, dobija se:
ax − 10y = 15a
2ax + 5y = 5a
0x − 10y = 15 · 0
0x + 5y = 5 · 0
−10y = 0
5y = 0
Ovde se vidi da je y = 0, a x može biti bilo koji broj. To znači da je sistem neodređen, odnosno da ima beskonačno mnogo rešenja (y = 0, x ∈ R).
Grafička metoda
Postupak: nepoznate u svakoj od jednačina sistema su linearno zavisne, pa se svaka od njih može predstaviti grafički. To znači da je potrebno konstruisati grafike (prave) za svaku od datih jednačina.
Savet: radi jednostavnijeg konstruisanja grafika, nepoznatu y treba izraziti iz datih jednačina.
Primeri:
1. Zadatak jedan:
2x + 3y = 5
3x + y = −3
Prvo se iz prve jednačine izrazi y.
2x + 3y = 5
3y = −2x + 5
y = −2x/3 + 5/3
Sada se za najmanje dve vrednosti x izračuna vrednost y, što se, najčešće, daje u vidu tabele. Potom se nacrta grafik za prvu jednačinu.
Sada se iz druge jednačine izrazi y.
3x + y = −3
y = −3x − 3
Sada se za najmanje dve vrednosti x izračuna vrednost y. Potom se nacrta grafik za drugu jednačinu.
linearne jednacine sa dve nepoznate slika2
Rešenje sistema jednačina je tačka nastala u preseku pravih.
Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (−2, 3).
2. Zadatak dva:
2x − y = 3
−2x + y = 6
Prvo se iz prve jednačine izrazi y.
2x − y = 3
y = 2x − 3
Sada se za najmanje dve vrednosti x izračuna vrednost y, što se, najčešće, daje u vidu tabele. Potom se nacrta grafik za prvu jednačinu.
Sada se iz druge jednačine izrazi y.
−2x + y = 6
y = 2x + 6
Sada se za najmanje dve vrednosti x izračuna vrednost y. Potom se nacrta grafik za drugu jednačinu.
linearne jednacine sa dve nepoznate slika5
Rešenje sistema jednačina je tačka nastala u preseku pravih.
linearne jednacine sa dve nepoznate slika6
Prave su paralelne, tako da ne postoji presečna tačka. To znači da je sistem jednačina nemoguć, odnosno da nema rešenja.
Grafička metoda
Postupno i detaljno objašnjenje načina rešavanja sistema linearnih jednačina sa dve nepoznate grafičkom metodom.
Zadatak 1
Zadatak 2
Zadatak 3
